Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр DH на AB. Он будет ле­жать в плос­ко­сти ABD, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку CD пер­пен­ди­ку­ляр­на AD и BD. Зна­чит, DH пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и по­это­му длина DH и есть рас­сто­я­ние между пря­мы­ми.

За­ме­тим, что тогда

Ответ:

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр DH на AC. Он будет ле­жать в плос­ко­сти ACD, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на BD, по­сколь­ку BD пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AD. Зна­чит, DH пер­пен­ди­ку­ляр­на BD и по­это­му длина DH и есть рас­сто­я­ние между пря­мы­ми.

За­ме­тим, что тогда

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния приз­мы. Оче­вид­но, что AA₁ па­рал­ле­лен DD₁, по­это­му AA₁ па­рал­ле­лен BB₁D₁D. Тогда:

Имеем:

Ответ:

Пусть K и M  — се­ре­ди­ны ребер A₁C₁ и AB со­от­вет­ствен­но. Тогда EK и FM  — сред­ние линии ос­но­ва­ний приз­мы, по­это­му они па­рал­лель­ны пря­мым C₁B₁ и CB, а зна­чит, и друг другу. По­это­му точки F, K, E, M лежат в одной плос­ко­сти. Далее, от­рез­ки A₁K и AF равны и па­рал­лель­ны, по­это­му AA₁KF  — па­рал­ле­ло­грамм и от­ре­зок FK па­рал­ле­лен ребру AA₁. Тогда:

по­сколь­ку пер­пен­ди­ку­ляр из точки A к пря­мой FM будет ле­жать в плос­ко­сти ос­но­ва­ния и, сле­до­ва­тель­но, будет пер­пен­ди­ку­ля­рен к пря­мой FK.

Тре­уголь­ни­ки AFM и ACB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, по­это­му:

Ответ: 3.

До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и B₁C₁ и по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁.

Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку BB1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в плос­ко­сти AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и B₁C1 и по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁.

Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в плос­ко­сти AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

Пусть у приз­мы ABCA₁B₁C₁ AA₁  =  12, AC  =  CB  =  15, AB  =  18. До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и плос­ко­сти B₁C1 и AD  =  BC  =  B₁C₁, по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁. Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

Пусть у приз­мы ABCA₁B₁C₁ AA₁  =  24, AC  =  CB  =  25, AB  =  14. До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и плос­ко­сти B₁C₁ и AD  =  BC  =  B₁C₁, по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁. Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на AA₁B₁B, а A₁T лежит в плос­ко­сти AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

За­ме­тим, что AC пер­пен­ди­ку­ля­рен BD и AC пер­пен­ди­ку­ля­рен SO, где O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Зна­чит, AC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти BSD. Опу­стим те­перь пер­пен­ди­ку­ляр OT на DN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти BCD и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен к AC. Зна­чит, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

По­сколь­ку все ребра пи­ра­ми­ды равны, тре­уголь­ни­ки BSD и BAD равны по трём сто­ро­нам, сле­до­ва­тель­но, и

Пусть H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки N на пря­мую BD. Тогда NH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBO. Далее,

тогда и

Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно:

Ответ:

За­ме­тим, что AC пер­пен­ди­ку­ля­рен BD и AC пер­пен­ди­ку­ля­рен SO, где O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Зна­чит, AC пер­пен­ди­ку­ля­рен BSD. Опу­стим те­перь пер­пен­ди­ку­ляр OT на DN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти BCD и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен к AC. Зна­чит, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

По­сколь­ку все ребра пи­ра­ми­ды равны, тре­уголь­ни­ки BSD и BAD равны по тре­тье­му при­зна­ку, сле­до­ва­тель­но, и

Пусть H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки N на пря­мую BD. Тогда NH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBO. Далее,

Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно:

Ответ: